EL PLANO CARTESIANO

Transformaciones en el plano y el plano cartesiano

Transformaciones en el plano:

 transformaciones geométricas:
son procesos de variación o movimiento de los puntos del plano de forma que se establece una relación entre los elementos de origen y los elementos transformados. diremos que un par de puntos son homólogos cuando se obtenga mediante la aplicación de una transformación en su plano.

puede ser 2 tipos:
transformación directa: se conversan el sentido en el plano orientado.

transformación inversa: cuando los sentidos del original y el homologo son contrarios .

También la podemos clasificar en función al aspecto de la figura homologa en: 

isometricas: son aquello que conversan las dimensiones y los ángulos entre la figura original y la transformada.

- traslación

- giro

- simetría

isomorficas o conformes: son aquellas transformaciones que conservan la forma, es decir, los ángulos de la figura original y la transformada son iguales y las longitudes son proporcionales.

- homotecia

- semejanza

anamorficas: son aquellas en las que cambia la forma entre la original y la transformada.

-inversión

transformaciones isometricas:

en geometría, las transformaciones isometricas son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas; la figura inicial y la final son semejantes y geometricamente congruentes.

la palabra isometria tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metria (medir), una definición cercana es igual medida.

Traslación: la traslación es una isometria que realiza un cambio de posición, es el cambio de lugar, determinado por un vector.

se llama traslación de vector a la isometria que a cada punto A del plano le hace corresponder un punto A' del mismo plano tal que AA' es igual a U vector

-la dirección: si es horizontal, vertical, oblicua, etc...

-el sentido: si es derecha, izquierda, arriba o abajo.

-la magnitud: que se refiere a cuanto se desplazo la figura en una unidad de medida.

giro: una rotación, en geometría, es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo, y posee las siguientes características: 

-un punto: denominado centro de rotación 

-un angulo

-un sentido: de rotación

estas trasformaciones pueden ser positivas o negativas dependiendo del sentido de giro. para el primer caso debe ser un giro en sentido contrario a las manecillas del reloj, y sera negativo el giro cuando sea en sentido de las manecillas.

Simetría: Es la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un punto (centro), una recta (eje) o un punto
se denominan: central y axial

simetría central:es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto, que debe cumplir las siguientes condiciones:

- el punto y su imagen y el centro de simetría pertenezca a una misma recta

.

La simetría axial, en geometría, es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia a otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:
- La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.
- El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.

transformaciones isomorficas: son las transformaciones geométricas que solo conservan la forma; es decir, en aquellas los ángulos de la figura original y de la transformada son iguales y las longitudes proporcionales.

semejanza: dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma (el mismo numero de lados y ángulos iguales) y de distintos tamaños (sus dimensiones son distintas).

la homotecia: es una transformación geométrica, una correspondencia entre 2 figuras en la que se cumple que las parejas de puntos homoteticos están alineados con el centro de homotecia  y los segmentos homoteticos son paralelos.

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homotecia directa: Cuando los dos puntos homotéticos se encuentran al mismo lado respecto al centro, la homotecia es directa . Las figuras homotéticas directas son semejantes y nunca son equivalentes. homotecia inversa: Cuando los puntos homotéticos se encuentran alineados con el centro pero en extremos opuestos de las radiaciones, la homotecia es inversa.En este caso la figura no es semejante, es el producto de dos simetrías axiales cuyos ejes, uno vertical y otro horizontal pasan por el centro de homotecia.

Factor de proporcionalidad de la homotecia:

El factor de proporcionalidad o razón de semejanza entre figuras homotéticas directas es siempre positiva.

Las figuras homotéticas inversas responden a un factor de proporcionalidad negativo, son equivalentes si el factor de proporcionalidad es -1.

transformaciones geométricas anamorficas: 

 La homología es una transformación que no es isomórfica ni isométrica, pues no mantiene la forma ni el tamaño de las figuras.

Transforma los puntos del plano A, B, C…en puntos del plano A’, B’, C’..., de modo que :

Dos puntos homólogos A y A’ están alineados con un punto fijo, que es el centro de la homología. Dos rectas homólogas r y r’ se cortan en una recta llamada eje de la homología. afinidad:La afinidad es una homología con el centro en el infinito. Es una transformación que no es isomórfica ni isométrica, pues no mantiene la forma ni el tamaño de la figura que transforma.

Inversión:La inversión es una transformación que hace corresponder a un punto A otro punto A’ cumpliendo las siguientes condiciones :

Ambos puntos están alineados con otro punto fijo, llamado centro de inversión. El producto de las distancias de ambos puntos al citado centro de inversión es un valor constante K llamado potencia de inversión, es decir; A x A’ = K

El Plano Cartesiano: 

El plano cartesiano es un sistema de referencias que se encuentra conformado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un determinado punto. A la horizontal se la llama eje de las abscisas o de las X y al vertical eje de las coordenadas o de las Yes, en tanto, el punto en el cual se cortarán se denomina origen. La principal función o finalidad de este plano será el de describir la posición de puntos, los cuales se encontrarán representados por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se formarán asociando un valor del eje X y otro del eje Y.

En tanto, para localizar los puntos en el plano cartesiano se deberá tener en cuenta lo siguiente… para localizar las abscisas o valor de las X, se contarán las unidades correspondientes en dirección derecha, si son positivas y en dirección izquierda, si son negativas, partiendo del punto de origen que es el 0. Y luego, desde donde se localizó el valor de X, se procederá a contar las unidades correspondientes hacia arriba en caso de ser positivas, hacia abajo, en caso de ser negativas y de esta manera se localiza cualquier punto dada las coordenadas. La distancia que separa el lugar desde donde nosotros nos hayamos, hasta por ejemplo el lugar al cual nos queremos dirigir, que, supongamos queda a cuatro cuadras al norte y seis al oeste, puede ser plasmada a través de un plano cartesiano, tomando como origen del plano aquel en el cual nos encontramos nosotros.

El origen de la denominación de plano cartesiano como tal se ha efectuado en honor al reconocido matemático y filósofo francés del siglo XVII René Descartes, por haber promovido la necesidad de tomar un punto de partida sobre el cual edificar todo el conocimiento.